赤チャート数学Ⅰ+A、つまづき2つ目

赤チャート数学Ⅰ+Aの演習に長考させられる問題があった（p.94 第1章 演習17）。

n を 1 以上の整数とするとき，次の 2 つの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは証明し，正しくないときはその理由を述べよ。〔京都大〕

　命題 p : ある n に対して，√n と √(n + 1) はともに有理数である。

　命題 q : すべての n に対して，√(n + 1) - √n は無理数である。

私は時間をかけて以下のような答案をひねり出した（一部略）。

命題 p を真と仮定する。If n = 1, √2 ∉ ℚ と矛盾（√2 ∉ ℚ の証明略）。

If n ≧ 2, √(n - 1) = √(n - 1)(n + 1) / √(n + 1) = (n - 1) / √(n + 1)。∴ √(n - 1) ∈ ℚ。

ゆえに (√n ∈ ℚ ∧ √(n + 1) ∈ ℚ) ⇒ (√(n - 1) ∈ ℚ ∧ √n ∈ ℚ)。

これを繰り返せば n = 1 でも成立し矛盾。したがって命題 p は偽。

（命題 q が真の証明略）。

あとから点検すると、単純な計算ミスが含まれていて、誤答だった。

解答編は以下のようなものだった。

(命題 p) 正しくない。

(理由) ある n に対して，√n と √(n + 1) がともに有理数であると仮定すると

√n = (a / b) (a と b は互いに素な自然数) と表される。

両辺を 2 乗すると n = (a² / b²)

a と b は互いに素であるから，a² と b² も互いに素である。

よって，n が自然数となるのは，b² = 1 のときであるから

n = a² ……① 同様に n + 1 = c² ……② (c は自然数，c > a ≧ 1) とおける。

② - ① から 1 = c² - a²

変形すると (c + a)(c - a) = 1 ……③

c > a ≧ 1 より c + a ≧ 3，c - a ≧ 1

これと ③ を同時に満たす自然数 a, c は存在しないから，矛盾する。

したがって，√n と √(n + 1) がともに有理数になることはない。

 

[別解] n が自然数となるのは，b² = 1 すなわち b = 1 のときであるから √n = a

一般に，自然数 N に対して，√N が有理数のとき，√N は自然数となる。

ここで √(n + 1) - √n = 1 / (√(n + 1) + √n)

√n が有理数のとき，√n は自然数であるから

√(n + 1) + √n > 1

よって 0 < √(n + 1) - √n < 1

2 数 √n，√(n + 1) の差の絶対値が 1 より小さいから，√n が自然数のとき，√(n + 1) は自然数ではない。すなわち，√(n + 1) は有理数ではない。

同様に，√(n + 1) が自然数のときは，√n は有理数になることはない。

（命題 q が正しい証明略）

 私の答案はどちらとも違う解き方である。

こういうとき、自分の答案が合っているのか心配になる。

私が用意した答えは間違いが含まれていて、証明できていなかった。