赤チャート数学Ⅰ+A、つまづき3つ目

数学が勉強したくて、赤チャート数学Ⅰ+Aを少しずつやっている。

理解できなかったり、根本的に間違えた問題をブログに書き留めていこうと思う。

今回は、題意が理解できなかった問題（p.153 練習137）。

a は正の定数とする。AB = AC (= x とし，x ≧ 3 とする) の △ABC で，辺 AB の B を越える延長上に点 P，P' をそれぞれ AP = 2AB，AP' = AB + 2 となるようにとり，辺 AC の C を越える延長上に点 Q，Q' をそれぞれ，AQ = AC + 1，AQ' = AC + a となるようにとる。このとき，△APQ の面積が △AP'Q' の面積より大きくなるような a の値の範囲を求めよ。

「a は正の定数とする」ことから、x によらない a の範囲を聞いてるのは分かる。

 だが、面積の大小関係が任意の x について成立する a の範囲を求めればいいのか、

それとも成立する x が存在するような a の範囲を求めればいいのか悩んだ。

題意が任意の x について大小関係が成立する a の範囲だとすると、

∀x ≧ 3 [a > 0 ∧ a  < (x² / (x + 2))]

⇔ 0 < a < (9 / 5)

大小関係が成立する x が存在する a の範囲だとすると

∃x ≧ 3 [a > 0 ∧ a  < (x² / (x + 2))]

⇔ 0 < a

となる。出題者の意図は前者だと思われるがなんともスッキリしない問題文だ。

解答は以下のようになっていた。

AB = x とするとき

　　　　AP = 2x, AP' = x + 2, AQ = x + 1, AQ' = x + a

(△APQ / △AP'Q') = (AP･AQ / AP'･AQ') であるから，

△APQ > △AP'Q' のとき AP･AQ > AP'･AQ'

すなわち 2x (x + 1) > (x + 2)(x + a)

整理すると x² - ax - 2a > 0

この不等式が x ≧ 3 を満たすすべての実数 x について成り立つような a の値の範囲を求めればよい。

f(x) = x2 - ax - 2a とすると，y = f(x) のグラフは下に凸の放物線で，軸は直線 x = a / 2 である。

ここで，a > 0 であるから a / 2 > 0

よって，x ≧ 3 で常に f(x) > 0 が成り立つための条件は

f(3) > 0

ゆえに 3² - a･3 - 2a > 0 よって a < 9 / 5

a > 0 であるから 0 < a < 9 / 5