Quiz of Walkure開始
ここ3日ぐらい、寝食以外の時間はゲームをやっている。
「Quiz of Walkure」というタイトルのクイズゲームだ。
友人からクイズの成績を自慢されて、対抗心から始めてしまった。
ゲーム自体はソーシャルカードRPGの戦闘部分が4択クイズになったもの。
「魔法使いと黒猫のウィズ」などと同系のゲームだ。
クイズを何問も解いていくと、以前出題されたことがある問題が出ることがある。
原理的には、すべての問題の答えを暗記すれば全問正解できるはずだ。
難易度が「4色」の問題を中心に、問題文と答えのメモを始めた。
だが、問題メモが500題を超えたあたりからキリがないことに気づいた。
おそらく問題は1万問以上ある。
HTTPパケットをキャプチャして問題メモの自動作成はできないだろうか。
ゲームの合間を利用してその可能性を考えてみたい。
赤チャート数学Ⅰ+A、つまづき4つ目
例題で初めてつまづいてしまった。例題の解説が分からない（p.166 例題111）。
例題111 関数の値域への応用
(1) 関数 y = 2x2 - 5x + 1 の値域を，この等式を満たす実数 x が存在するような y の値の範囲として求めよ。
(2) 関数 y = 3x / (x2 + x + 1) の値域を求めよ。
赤チャートでは、この例題に対して次のような解説がついていた。
[指針] (1) ２次関数の値域は，普通は基本形に直して求めるが，例題 110 同様に，実数条件 (D ≧ 0) を利用して求める方法もある。x, y の等式を x について整理すると
2x2 - 5x + (1 - y) = 0
x の値は実数であるから D ≧ 0 これから y の値の範囲が求められる。
(2) このような分数の形をした関数は数学Ⅰの範囲外だが，(1) の方法が使える。
x, y の等式の分母を払って，x について整理すると
yx2 + (y - 3)x + y = 0
x の値は実数であるから，y ≠ 0 のとき D ≧ 0
y = 0 のとき，判別式は使えないから，別扱いにして調べる。
[答案] (1) y = 2x2 - 5x + 1 から 2x2 - 5x + (1 - y) = 0
これを x の２次方程式とみて，判別式を D とすると，x の値が実数であるから
D = (-5)2 - 4･2･(1 - y) = 17 + 8y ≧ 0
よって，求める値域は y ≧ - 17 / 8
(2) x が実数のとき x2 + x + 1 = (x + 1/2)2 + 3/4 ≠ 0
y = 3x / (x2 + x + 1) の両辺に x2 + x + 1 を掛けて
y(x2 + x + 1) = 3x
x について整理すると yx2 + (y - 3)x + y = 0 …… ①
[1] y ≠ 0 のとき，x の２次方程式 ① の判別式を D とすると，①が実数解を持つための条件は
D = (y - 3)2 - 4･y･y = -3(y2 + 2y - 3) = -3(y + 3)(y - 1) ≧ 0
y ≠ 0 に注意して解くと -3 ≦ y < 0, 0 < y ≦ 1
[2] y = 0 のとき，① は 3x = 0 となり，実数解 x = 0 を持つ。
[1]，[2] から，求める値域は -3 ≦ y ≦ 1
この解説は直感的に分からず、お手上げだ。
とくに (2) で、なぜ分母を払って x について整理してしまうのかも、
その演算がグラフ上で、どのような操作に当たるかも分からない。
(2) の関数のグラフを描いてみると図になり、y は ± の ∞ に発散することなく、
x を +∞ に飛ばすと y は +0 に収束し、x を -∞ に飛ばすと y は -0 に収束する。
だから値域が有限範囲であることは分かるが、それが判別式で求まるのは不思議だ。
例題解説に戻って整理すると、赤チャートの主張は以下のようになる。
「関数 f の値域は {y | ∃x∈ℝ[y = f(x)]}⊆ℝである」
この命題が真であれば、(2) の解説も納得がいく。
f(x) = 3x / (x2 + x + 1) とすると、値域は {y | ∃x∈ℝ[y = f(x)]}⊆ℝ である。
∃x∈ℝ [y = 3x / (x2 + x + 1)]
⇔∃x∈ℝ [y(x2 + x + 1) = 3x] (∵∀x∈ℝ [x2 + x + 1 ≠ 0])
⇔∃x∈ℝ [yx2 + (y - 3)x + y) = 0]
⇔ (y ≠ 0 ∧ (y - 3)2 - 4y2 ≧ 0) ∨ (y = 0) (∵If y ≠ 0 判別式，If y = 0 x = 0)
⇔ (y ≠ 0 ∧ -3(y + 3)(y - 1) ≧ 0) ∨ (y = 0)
⇔ -3 ≦ y ≦ 1
よって値域は -3 ≦ y ≦ 1 を満たすすべての実数 y。
じつは、上述の命題は数学的な値域 (range) の定義にほかならない。
例題解説が分からなかった理由は、高校数学での「値域」がグラフをもとに
直感的に導入された概念で、厳密な定義がないことにあったわけだ。
赤チャート数学Ⅰ+A、つまづき3つ目
数学が勉強したくて、赤チャート数学Ⅰ+Aを少しずつやっている。
理解できなかったり、根本的に間違えた問題をブログに書き留めていこうと思う。
今回は、題意が理解できなかった問題（p.153 練習137）。
a は正の定数とする。AB = AC (= x とし，x ≧ 3 とする) の △ABC で，辺 AB の B を越える延長上に点 P，P' をそれぞれ AP = 2AB，AP' = AB + 2 となるようにとり，辺 AC の C を越える延長上に点 Q，Q' をそれぞれ，AQ = AC + 1，AQ' = AC + a となるようにとる。このとき，△APQ の面積が △AP'Q' の面積より大きくなるような a の値の範囲を求めよ。
「a は正の定数とする」ことから、x によらない a の範囲を聞いてるのは分かる。
だが、面積の大小関係が任意の x について成立する a の範囲を求めればいいのか、
それとも成立する x が存在するような a の範囲を求めればいいのか悩んだ。
題意が任意の x について大小関係が成立する a の範囲だとすると、
∀x ≧ 3 [a > 0 ∧ a < (x2 / (x + 2))]
⇔ 0 < a < (9 / 5)
大小関係が成立する x が存在する a の範囲だとすると
∃x ≧ 3 [a > 0 ∧ a < (x2 / (x + 2))]
⇔ 0 < a
となる。出題者の意図は前者だと思われるがなんともスッキリしない問題文だ。
解答は以下のようになっていた。
AB = x とするとき
AP = 2x, AP' = x + 2, AQ = x + 1, AQ' = x + a
(△APQ / △AP'Q') = (AP･AQ / AP'･AQ') であるから，
△APQ > △AP'Q' のとき AP･AQ > AP'･AQ'
すなわち 2x (x + 1) > (x + 2)(x + a)
整理すると x2 - ax - 2a > 0
この不等式が x ≧ 3 を満たすすべての実数 x について成り立つような a の値の範囲を求めればよい。
f(x) = x2 - ax - 2a とすると，y = f(x) のグラフは下に凸の放物線で，軸は直線 x = a / 2 である。
ここで，a > 0 であるから a / 2 > 0
よって，x ≧ 3 で常に f(x) > 0 が成り立つための条件は
f(3) > 0
ゆえに 32 - a･3 - 2a > 0 よって a < 9 / 5
a > 0 であるから 0 < a < 9 / 5
哺乳類の祖先は後期三畳紀まで遡る？
中国から約1億6000万年前（ジュラ紀）のハラミヤ科化石が発見されたそうだ。
哺乳類の祖先は今までの考えより古くなり、後期三畳紀に遡る可能性があるという。
6体のマウス大の標本はシャンショウ・ソンガエ（Xianshou songae）と命名された。
従来の考えと違い、ハラミヤ科は真の哺乳類であることが判明したという。
ハラミヤ科の系統位置は論争があり、哺乳類が生まれた年代も確実でないらしい。
復元図のようなかわいい哺乳類が、ジュラ紀にいろんな種類いたというのは驚きだ。
赤チャート数学Ⅰ+A、つまづき2つ目
赤チャート数学Ⅰ+Aの演習に長考させられる問題があった（p.94 第1章 演習17）。
n を 1 以上の整数とするとき，次の 2 つの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは証明し，正しくないときはその理由を述べよ。〔京都大〕命題 p : ある n に対して，√n と √(n + 1) はともに有理数である。命題 q : すべての n に対して，√(n + 1) - √n は無理数である。
私は時間をかけて以下のような答案をひねり出した（一部略）。
命題 p を真と仮定する。If n = 1, √2 ∉ ℚ と矛盾（√2 ∉ ℚ の証明略）。
If n ≧ 2, √(n - 1) = √(n - 1)(n + 1) / √(n + 1) = (n - 1) / √(n + 1)。∴ √(n - 1) ∈ ℚ。
ゆえに (√n ∈ ℚ ∧ √(n + 1) ∈ ℚ) ⇒ (√(n - 1) ∈ ℚ ∧ √n ∈ ℚ)。
これを繰り返せば n = 1 でも成立し矛盾。したがって命題 p は偽。
（命題 q が真の証明略）。
あとから点検すると、単純な計算ミスが含まれていて、誤答だった。
解答編は以下のようなものだった。
(命題 p) 正しくない。(理由) ある n に対して，√n と √(n + 1) がともに有理数であると仮定すると√n = (a / b) (a と b は互いに素な自然数) と表される。両辺を 2 乗すると n = (a2 / b2)a と b は互いに素であるから，a2 と b2 も互いに素である。よって，n が自然数となるのは，b2 = 1 のときであるからn = a2 ……① 同様に n + 1 = c2 ……② (c は自然数，c > a ≧ 1) とおける。② - ① から 1 = c2 - a2変形すると (c + a)(c - a) = 1 ……③c > a ≧ 1 より c + a ≧ 3，c - a ≧ 1これと ③ を同時に満たす自然数 a, c は存在しないから，矛盾する。したがって，√n と √(n + 1) がともに有理数になることはない。[別解] n が自然数となるのは，b2 = 1 すなわち b = 1 のときであるから √n = aここで √(n + 1) - √n = 1 / (√(n + 1) + √n)√(n + 1) + √n > 1よって 0 < √(n + 1) - √n < 1（命題 q が正しい証明略）
私の答案はどちらとも違う解き方である。
こういうとき、自分の答案が合っているのか心配になる。
私が用意した答えは間違いが含まれていて、証明できていなかった。
やしきたかじんは在日韓国人2世？
やしきたかじんが在日韓国人2世だというニュースを見てびっくりした。
在日に厳しかったそこまで言って委員会の司会が在日韓国人だったのなら皮肉だ。
しかし、たかじんが在日韓国人であったというのは正確な表現ではないようだ。
デイリーはこの記事を出した翌日に、
※将来を案じた父の配慮から日本人である母の籍に入ったため日本国籍
という注釈を加えた同じ記事を再配信している。
すると、たかじんは韓国・日本ハーフの日本人ということになるが、これもおかしい。
日本は1985年まで外国人の父親から生まれた子どもは日本国籍を持てなかった。
なので、父親が韓国人だったとすると矛盾が出てくる。
たかじんが生まれた1949年当時、たかじんの父親は日本人だったと考えられる。
赤チャート数学Ⅰ+A、つまづき1つ目
数学の勉強をしようと思い、赤チャートの数学Ⅰ+Aを少しずつやっている。
最初につまづいた問題がこれ（p.79 練習69(3)）。
練習 69 次の命題の否定を述べよ。
(3) ある正の数 x に対して ax + b > 0 ならば，a > 0 または b > 0 である。
私は解答を以下のようにした。
「すべての正の数 x に対して ax + b > 0 かつ a ≦ 0 かつ b ≦ 0 である。」
解答編は以下のようなものだった。
「ある正の数 x に対して ax + b > 0 であって，a ≦ 0 かつ b ≦ 0 となることがある。」
模範解答と違ってしまった原因は、問題文の解釈にある。
「∃x > 0 [ax + b > 0 ⇒ [a > 0 ∨ b > 0]]」と読んでしまったが、
題意は「[∃x > 0 [ax + b > 0]] ⇒ [a > 0 ∨ b > 0]」だったのだ。
これなら否定は「[∃x > 0 [ax + b > 0]] ∧ [a ≦ 0 ∧ b ≦ 0]」となり、
模範解答と同じになる。
